Математика. Слабо?

← →
vain © (2006-08-22 16:59) [0]

Найти все целые числа а, для каждого из которых дробь (n^3+a^3)/(n-2) при любом натуральном n>2 сокращается на не более чем одно простое число.
Можно преформулировать так:
Найти все целые числа а, для каждого из которых дробь НОД(n^3+a^3, n-2) - простое число при любом натуральном n>2 сокращается на не более чем одно простое число

← →
Marser © (2006-08-22 17:05) [1]

Ты уже этот вопрос обсудил? ;-)

← →
Rouse_ © (2006-08-22 17:07) [2]

У студентов опять экзаменация? :)

← →
Ega23 © (2006-08-22 17:09) [3]

> У студентов опять экзаменация? :)

Скорее переэкзаменация... :)

← →
vain © (2006-08-22 17:20) [4]

Ладно... Видимо зря спросил...

← →
oldman © (2006-08-22 18:28) [5]

> Найти все целые числа а

Простой цикл от -бесконечности до +бесконечности поможет тебе...
:)))

← →
default © (2006-08-22 19:11) [6]

есть лишь одно такое число - это дырка от бублика, то есть ноль
доказательство проще пареной репы:)

← →
default © (2006-08-22 19:18) [7]

хотя нет(условие невнимательно прочёл), vain решение у тебя есть?

← →
default © (2006-08-22 19:35) [8]

похоже, что это все "a" такие, что (a^3 + 8) - простое число

← →
SergP © (2006-08-22 20:19) [9]

> [8] default © (22.08.06 19:35)
> похоже, что это все "a" такие, что (a^3 + 8) - простое число

1^3+8=9 - не простое
2^3+8=16 - не простое
и так далее

← →
TJulia © (2006-08-22 21:05) [10]

НОД(n^3+a^3,n-2)=НОД(n^3+a^3-n^2*(n-2),n-2)=НОД(a^3+2*n^2,n-2)=НОД(a^3+2*n^2-2*n*(n-2),n-2)=НОД(a^3+4*n,n-2)=НОД(a^3+4*n-4*(n-2),n-2)=НОД(a^3+8,n-2)
НОД будет простым числом или единицей при всех n только в том случае, когда |a^3+8| - простое число или 1 (иначе можно взять n=|a^3+8|+2 при a<>-2 и n=6 при a=-2).
a^3+8=(a+2)(a^2-2*a+4)
a^2-2*a+4=(a-1)^2+3>1
Значит, a+2=1 или -1, то есть a=-1 или -3

так она права или нет?

вот такая логика может быть понятней
пусть первое выражение у нас (n^3+a^3), второе (n-2)
если бы нам удалось разложить первое выражение так, чтобы там фигурировало (n-2), то было бы хорошо ибо члены разложения с (n-2) можно было бы вынести из рассмотрения так как если делится на что-то второе выражение, то эти члены тоже на это что-то делятся и их можно не рассматривать
смотрим на n^3, это лабуду можно выразить из (n-2)^3 (при выражении будет член с (n-2) чего мы и добиваемся)которая равна
n^3-6n^2+12n-8-->n^3=(n-2)^3+6n^2-12n+8=(n-2)[(n-2)^2+6n]+8
член с (n-2) как договорились не рассматриваем
и приходим к рассмотрению a^3+8... дальше идут другие несложные соображения которые как раз приводят к тому, что |a^3+8| - должно быть простым при искомых a
модуль берётся так как a ищутся и отрицательные тоже...я модуль не брал для начала...
дальше нужно было вспомнить формулу кубов a^3+8=a^3+2^3 и прочая песня...

Математика. Слабо? Найти похожие ветки