Пятничные задачки с участием несравненного Васи Пупкина ;)

← →
Separator © (2005-11-18 17:15) [120]

Нужно дать только мат решение? или можно кодом делфи? конкретно на 2 задачу?

← →
Sandman29 © (2005-11-18 17:25) [121]

MBo © (18.11.05 17:15) [119]

Не понимаю.
X-возраст Васи.
X+Y8=8Y8
X+Y7=7Y7
X+Y6=6Y6
X+Y5=5Y5
X+Y4=4Y4
X+Y3=3Y3
X+Y2=2Y2
Откуда
X=7Y8=6Y7=5Y6=4Y5=3Y4=2Y3=Y2
То есть X делится на 7,6,5,4,3 и 2

← →
default © (2005-11-18 17:50) [122]

8. рекуррентная формула F(N)=F(N-1)+F(N-2)+1; F(1)=1; F(2)=2
то есть получается последов-ть типа фибоначиевой, исходя из того что
для послед-ти фибоначи развёртка рекуррентности обычной формулой не
известна, думаю и тут хрен её найдёшь

← →
SergP. (2005-11-18 18:05) [123]

> 9. Как Васе Пупкину измерить плотность Солнца при помощи
> однокопеечной монеты
> и с использованием минимального количества известных школьникам
> постоянных?

А что можно считать постоянными?

Массу земли например можно?

Если можно, то например есть вариант, где нужны пи, гравитационная постоянная, масса земли, количество секунд в году, диаметр монеты,
ну и линейка для измерения расстояний...

← →
default © (2005-11-18 18:16) [124]

8. хотя вру есть такая развёртка(посмотрел в книге - находится через производящие ф-ции мудрёно) так что по аналогии можно и эту рекуррентнось развернуть

← →
Separator © (2005-11-18 18:20) [125]

тут читал что вроде по методу Эйлера можно развернуть

← →
default © (2005-11-18 18:39) [126]

Separator © (18.11.05 18:20) [125]
попробуй, интересно посмотреть
кстати формула в [28] и есть развёртка фиб-ой послед-ти
значит и тут можно ожидать структурно схожую формулу
но главно рекурр-ть найдена, а методы развёртки подобноей рекурр-ти в литературе есть

← →
MBo © (2005-11-19 09:38) [127]

>SergP.
>А что можно считать постоянными?
Из справочных данных достаточно только грав. постоянной.

>default © (18.11.05 17:50) [122]
>8 для послед-ти фибоначи развёртка рекуррентности обычной формулой не известна

Известна

s5=Sqrt(5)
Fn=((1+s5)^n+(1-s5)^n)/(s5*2^n)

← →
SergP © (2005-11-19 10:28) [128]

> MBo © (19.11.05 09:38) [127]
> >SergP.
> >А что можно считать постоянными?
> Из справочных данных достаточно только грав. постоянной.
>

А... Ну да... В прошлый раз я ошибся....

Вобщем берем монету, размещаем ее на таком расстоянии от глаза, чтобы ее угловые размеры сравнялись с угловыми размерами солнца, затем измеряем это расстояние L, замеряем радиус монеты R

Тогда плотность солнца= 3*pi*L^3/(G*t^2*R^3)

G - гравитационная постоянная, t - время равное году (в секундах)

← →
MBo © (2005-11-19 10:40) [129]

>SergP © (19.11.05 10:28) [128]
Константный множитель точно не помню, но принцип верный.

Можно даже без линейки с делениями - расстояние в диаметрах монетки померить

← →
default © (2005-11-19 10:54) [130]

MBo © (19.11.05 09:38) [127]
я уже понял
у имею ввиду после того как рекур-ая формула есть можно почти механически по алгоритмам которые есть в книгах через производящую ф-ию найти замкнутую формулу или без замыкания решение не считается?:)
в 4 задаче перепрыгивает на соседнюю вершину с вероятностью 0.5 или произвольной?

← →
MBo © (2005-11-19 11:09) [131]

> 4 задаче перепрыгивает на соседнюю вершину с вероятностью 0.5 или произвольной
Перепрыгивает обязательно, а влево или вправо - с равной вероятностью

>через производящую ф-ию найти замкнутую формулу
Да, можно найти. IMHO, задача сложная.

← →
default © (2005-11-19 12:32) [132]

MBo © (19.11.05 11:09) [131]
"а влево или вправо - с равной вероятностью"
тогда простая задача, а то я вчера голову ломал для общего случая...

тут можно либо замыкать рекурр-ть с нуля либо изменить замкнутую формулу для фибчисел что намного проще
фиб послед-ть
0 1 1 2 3 5 8 13 ...
послед-ть задачи без прибав-ия единицы
1 2 3 5 8 13 ...
как видно с некоторого члена эти послед-ти совпадают
то есть имеем F_без_единицы(N)=Ф(N+2)
обе послед-ти нумеруются с нуля

с прибавлением единицы вот что выходит
1 2 4 7 12 20 33 (прибавляем в соотв-им членам)
1 2 3 5 8 13 21 34 55
1 2 4 7 12 20 33 54 88

как видим, прибавление единицы индуцирует послед-ть задачи
поэтому можем записать
F(N)=Ф(N+2)+F(N-2)
для отрицательного аргумента F(N) полагаем равным нулю
имеем F(N)-F(N-2)=Ф(N+2)
F(0)=1
F(2)-F(0)=Ф(4)
F(4)-F(2)=Ф(6)
F(6)-F(4)=Ф(8)
то есть, например, F(6)=F(0)+Ф(4)+Ф(6)+Ф(8)
нужно найти свёртку сумм вида Ф(N)+Ф(N+2)+Ф(N+4)+Ф(N+6),...Ф(N+2k)
возможно, это можно сделать, сейчас лень над этим думать, но дорога намечена

← →
default © (2005-11-19 14:45) [133]

4. 1. P(N)=(3/4)^[ ( (N+1) div 2 ) - 1 ]
2. 11/9

← →
Cardinal © (2005-11-19 16:05) [134]

[79] КаПиБаРа © (18.11.05 14:24)
красивое решение!

мое решение "в лоб" - установить "затычку", которая бы находилась под потолком и плотно прилегала к стенам, изолируя клопов от всей остальной комнаты. Что-то вроде навесных потолков.

← →
SergP. (2005-11-19 16:13) [135]

> 2. Сколько членов ряда Фибоначчи не превосходит заданного
> числа N?

Вобщем по идее должно быть нечто типа:

if N=1
then L:=2
else L=trunc(ln(N)/ln((1+sqrt(5))/2)+A);

где А пока не знаю чему должно быть равно точно.

← →
x.pro (2005-11-19 17:26) [136]

по поводу 10.

Предлагаю утопить Васю Пупкина!

← →
SergP © (2005-11-19 18:25) [137]

> x.pro (19.11.05 17:26) [136]
> по поводу 10.
>
> Предлагаю утопить Васю Пупкина!

Ага... Вместо кровати ставим ванну с водой. ложим туда Васю. А чтобы не задохнулся даем ему акваланг...

← →
default © (2005-11-19 19:09) [138]

по посту [132]
ряд Ф(N)+Ф(N+2)+Ф(N+4)+Ф(N+6),...Ф(N+2k) свернуть проще простого
так что скоро напишу заветную формулу:) и эврика будет над этой задачей:)
что ж надо бы сделать две вещи: рекуррентность подметить и увидеть и связать с последов-ью фиб-чи без привлечения более продвинутых инструментов

← →
default © (2005-11-20 01:36) [139]

8. итак, полное решение задачи элементарными средствами

сначала была подмечена рекуррентная формула решающая задачу:
F(N)=F(N-1)+F(N-2)+1; F(1)=1; F(2)=2 (1)

рекуррентность была устранена путём сопоставления данной послед-ти с послед-ью фибоначчи и использования замкнутой формулы для чисел фиб-чи

фиб-чи послед-ть
0 1 1 2 3 5 8 13 ...
наша послед-ть без прибав-ия единицы
1 2 3 5 8 13 ...
как видно с некоторого члена послед-ть фиб-чи повторяет нашу
имеем: F_без_единицы(N)=Ф(N+1)
послед-ть фиб-чи нумеруем с нуля, а нашу с единицы

с прибавлением единицы вот что выходит
1 2 4 7 12 20 33 ... (прибавляем к соотв-им членам)
1 2 3 5 8 13 21 34 55 ...
1 2 4 7 12 20 33 54 88 ...

как видим, прибавление единицы индуцирует нашу послед-ть
поэтому можем записать
F(N)=Ф(N+1)+F(N-2)
для неположительного аргумента F(N) полагаем равным нулю
имеем F(N)-F(N-2)=Ф(N+1) (2)

теперь используем формулы (1) и (2) [ ну как я сразу не догадался это сделать!!! ]

перепишем (1) в такой форме: F(N+1)=F(N)+F(N-1)+1; отсюда
F(N)=F(N+1)-F(N-1)-1; но F(N+1)-F(N-1) это разность чисел нашей послед-ти отстоящих по номеру на 2 и стало быть применима формула (2) !!!
имеем: F(N)=Ф(N+2)-1;
вся задача! вот она элементарная связь с формулой Бине!

итак: s5=Sqrt(5)
Ф(N)=((1+s5)^N+(1-s5)^N)/(s5*2^N); и значит

F(N)=((1+s5)^(N+2)+(1-s5)^(N+2))/(s5*2^(N+2))-1

великолепная задача с великолепно простым решением
эх, давно я такого кайфа от решения задач не ловил;)

← →
MBo © (2005-11-21 07:04) [140]

>default © (20.11.05 01:36) [139]
Слушай, а что за задачу ты все-так решал???
Должно быть так:

N 1 2 3 4 5 6 7 8...13...21 F 1 3 4 4 5 5 5 6...7.....8

А у тебя получается Fib(N+1) - 1

← →
default © (2005-11-21 13:08) [141]

MBo © (21.11.05 07:04) [140]
я понял задачу так:
a-->a; 1
a, b-->a;b; 2
a,b,c-->a;b;c;a,c; 4
a,b,c,d-->a;b;c;d;a,c;a,d;b,d; 7
a,b,c,d,e-->a;b;c;d;e;a,c;a,d;a,e;b,d;b,e;c,e;a,c,e; 12
...
4 правильно?

← →
MBo © (2005-11-21 13:36) [142]

>MBo © (21.11.05 07:04) [140]
>default © (20.11.05 01:36) [139]
>Слушай, а что за задачу ты все-так решал???

Ага, теперь понял.
8 задача - решена совершенно верно.

← →
default © (2005-11-21 16:15) [143]

MBo © (21.11.05 13:36) [142]
4. 1. P(N)=(3/4)^[ ( (N+1) div 2 ) - 1 ]
2. 11/9

а четвёртая задача?

← →
MBo © (2005-11-21 16:33) [144]

>а четвёртая задача?
первая часть - правильно, а вторая - нет. Очевидно, что среднее время жизни не может быть менее 3 секунд, необходимых для достижения D из A.
В условии у меня, конечно, же, описка - вершины ABCDEF

← →
default © (2005-11-21 16:49) [145]

MBo © (21.11.05 16:33) [144]
да, ступил, пересчитаю
вообщем матожидание надо посчитать
слагаемые произведения секунд когда сколько-то лягушек могут взорваться на вероятность этого

← →
default © (2005-11-21 18:20) [146]

MBo © (21.11.05 16:33) [144]
9 секунд им в среднем отведено на попрыгушки

А что, для 7-ой так и нет предложений? Или я что-то пропустил?

>default © (21.11.05 18:20) [146]
>9 секунд им в среднем отведено на попрыгушки
В книжке другой ответ.

>Verg © (21.11.05 20:43) [147]
>А что, для 7-ой так и нет предложений?
Предложение есть: Jeer [38]

MBo © (22.11.05 06:01) [148]
не знаю тогда...
лягушки могут дохнуть только на нечётных секундах начиная с 3
вероятность выжить на 3 секунде 3/4, вероятность подохнуть 1/4
вероятность выжить на 5 секунде равна вероятности умереть до 5 секунд включительно минус вероятность умереть на 3 секунде, то есть:
[1-(3/4)^2]-1/4=3/16
и тд
приходим к ряду
3*(3^0/4^1)+5*(3^1/4^2)+7*(3^2/4^3)+...
то есть матожидание это

блин попутал малость
MBo © (22.11.05 06:01) [148]
не знаю тогда...
лягушки могут дохнуть только на нечётных секундах начиная с 3
вероятность выжить на 3 секунде 3/4, вероятность подохнуть 1/4
вероятность умереть на 5 секунде равна вероятности умереть до 5 секунд включительно минус вероятность умереть на 3 секунде, то есть:
[1-(3/4)^2]-1/4=3/16
и тд
приходим к ряду
3*(3^0/4^1)+5*(3^1/4^2)+7*(3^2/4^3)+...
то есть матожидание это

Я получал, похоже, такой же ряд:
Sum(2k+1)*3^(k-1)/2^(2k)
И сумма его 9.

Сейчас смоделировал - однако 9 получается.

Значит,книжка врёт !

procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject); var Frog, Cnt, k, Sum: Integer; begin Randomize; Sum := 0; for k := 1 to 10000 do begin Frog := 0; Cnt := 0; repeat Inc(Cnt); if Random(2) = 0 then Inc(Frog) else Dec(Frog); if Frog < 0 then Frog := Frog + 6; Frog := Frog mod 6; until Frog = 3; Sum := Sum + Cnt; end; Caption := IntToStr(Round(Sum / 10000)); end;

MBo © (22.11.05 06:37) [151]
да, ряд тот же
я тоже только что захотел экспериментально проверить, но Вы постом опередили:)
"Значит,книжка врёт !"
"адназначна"(c)

"Логическое" решение к 7-ой.

Скорость цели V
Скорость патруля U
U > V

В некий момент на расстоянии S от патруля цель в точке О исчезает в тумане и однократно меняет курс на неизвестный угол.

Решение.

Если цель сменила курс на противоположный, то патрулю "повезло" и необходимо двигаться в прежнем направлении до естественной встречи с целью на встречных курсах.

Расстояние R от точки О до точки встречи определяется как R = S*U/(V+U)

Предположим в момент достижения патрулем точки предполагаемой встречи цель не обнаружена и введем доп.условие, что в этот же момент цель прекращает движение и стоит на месте.
Очевидно, что геометрическим местом, где цель может находится, является окружность радиуса R с центром в точке О.
Патрулю достаточно пройти полный круг (один оборот), чтобы гарантированно встретиться с целью.

Таким образом, несмотря на полную неопределенность в знании нового курса цель можно достичь, при введенном нами доп.условии.

Снимаем это доп.условие.
Что же изменится ?
Если патруль продолжит движение по той же окружности, то за время элементарного перемещения по дуге, цель покинет по радиусу пределы этой окружности.
Значит патрулю надо двигаться так, чтобы на каждом элементарном перемещении цели по радиусу оказываться в предполагаемом месте с учетом "расширения" окружности, т.е. двигаться по спирали.

Если рассмотреть конечное множество возможных новых значений курса цели (например всего 4), то хорошо будет заметно на элементарном графике - как должен двигаться патруль не встретив цель в очередной исследуемой точке.
Более того, совершенно очевидно, что угол между линиями движения на n-1 и n-ой точками будет сохраняться, т.к. сохраняется соотношение скоростей цели и патруля.

В пределе, переходя к бесконечному множеству углов смены курса, получаем, что патруль должен двигаться по спирали с сохранением угла между векторами скоростей, а также между вектором своей скорости и текущим радиусом спирали, т.е. касательная к спирали имеет постоянный угол между текущим радиусом.

А этому условию, как известно удовлетворяет логарифмическая спираль - Spira Mirabilis.

Желающим предлагается вывести уравнение движения исходя из введенных выше обозначений.

Вроде бы не ошибся нигде:)

Все таки ошибся (опечатка) :))
Расстояние R от точки О до точки встречи определяется как R = S*V/(V+U)

>Jeer © (22.11.05 10:51) [154]
Точно.
Вот только мне удалось сообразить, какая кривая должна быть, но неочевидным кажется момент вхождения в эту кривую из прямой.

А спираль эту где только не встретишь:
http://www.trader-lib.ru/books/507/19.html
на следующей или через одну страницу даже циркуль специальный продают ;)

Циpкуль золотого сечения - это пpевpащение суммационной последовательности Фибоначчи в инвестиционный инстpумент
О как! :)

Так ведь "всего" три мировые константы определяют порядок вещей в нашем мире:

Ф, Pi, e :))

1.618.. = 1/0.618 (золотое сечение)
3.141.. (кто и шутя, и скоро пожелаетъ Пи узнать число - ужъ знаетъ )
2.7..

И что самое замечательное - существуют и найдены формулы, связывающие все эти числа др. с другом !

"Ubi materia - ubi geometria" (С) Кеплер
"Там, где материя - там и геометрия"

> MBo © (22.11.05 14:05) [156]

> но неочевидным кажется момент вхождения в эту кривую из
> прямой.

Забудем о массе :))

Пятничные задачки с участием несравненного Васи Пупкина ;) Найти похожие ветки